本文研究对象是自旋液体，目标是寻找合适的材料或者体系来实现自旋液体。
- 方法：线性自旋波理论 —— \(\alpha- RuCl _{3}\) 低能有效交换模型
- 方法：变分蒙特卡洛—— 反铁磁型 \(J_{1}-J_{2}\) 海森堡模型
低能有效模型
对于微扰型哈密顿量 \[ H(\lambda)=H_{0}+\lambda H_{1} \] 通过正则变换 \[ \begin{align} H_{S}(\lambda) &=e^{-\lambda S} H(\lambda) e^{\lambda . S} \\ & =H(\lambda)+[H(\lambda), \lambda S]+\frac{1}{2 !}[[H(\lambda), \lambda S], \lambda S]+\frac{1}{3 !}[[[H(\lambda), \lambda S], \lambda S], \lambda S ]+\ldots\\ &=H_{0}+\lambda\left\{H_{1}+\left[H_{0}, S\right]\right\}+\lambda^{2}\left\{\left[H_{1}, S\right]+\frac{1}{2}\left[\left[H_{0}, S\right], S\right]\right\}+\ldots \end{align} \] 如果近似到二阶项，并且令一阶项为零，令 \(\lambda=1\), 那么有效哈密顿量为 \[ H_{ eff }=H_{0}+\frac{1}{2}\left[H_{1}, S\right] \]
线性自旋波理论
自旋哈密顿量为 \[ H=\sum_{m i, n j} S _{m i}^{T} J_{m i, n j} S _{n j}+ B ^{T} \sum_{m i} g_{i} S _{m i} \] 定义新的自旋算符 \(S_{i}^{\prime}\) \[ S _{i}=R_{i}\left(\theta_{i} . \phi_{i}\right) S _{i}^{\prime} \] 新的自旋算符 \(S^{\prime}\) 可以用Holstein-Primakoff (HP) 玻色子表示 \[ \begin{array}{l} S_{n j}^{\prime \dagger}=\sqrt{2 S_{j}-b_{n j}^{\dagger} b_{n j} b_{n j}} \\ S_{n j}^{\prime-}=b_{n j}^{\dagger} \sqrt{2 S_{j}-b_{n j}^{\dagger} b_{n j}} \\ S_{n j}^{\prime z}=S_{j}-b_{n j}^{\dagger} b_{n j} \end{array} \] 原先自旋算符可以写为 \[ S _{n j}=\sqrt{\frac{S_{j}}{2}}\left( u _{j}^{*} b_{n j}+ u _{j} b_{n j}^{\dagger}\right)+ v _{j}\left(S_{j}-b_{n j}^{\dagger} b_{n j}\right) \] 并且傅利叶变换 \[ b_{n j}=1 / \sqrt{L} \sum_{k \in B . Z .} b_{i}( k ) e^{i k \cdot r _{n j}} \] 哈密顿量一阶项会为零, 当零阶项为极小值时。只保留到二阶项, 哈密顿量可 以写成矩阵形式: \[ H=\sum_{B . Z .} x ^{\dagger}( k ) h( k ) x ( k ) \] 其中
- \(x ( k )\) 是玻色算符的列矢量
\[ x ( k )=\left[b_{1}( k ), \cdots, b_{N}( k ), b_{1}^{\dagger}(- k ), \cdots, b_{N}^{\dagger}(- k )\right]^{T} \] - 厄米矩阵 \(h( k )\) 有下面的矩阵形式:
\[ h( k )=\left[\begin{array}{cc} A( k )-C & B( k ) \\ B^{\dagger}( k ) & A(- k )^{*}-C \end{array}\right] \]
\(N \times N\) 矩阵 \(A 、 B\) 和 \(C\) 矩阵元 \[ \begin{align} A( k )^{i, j}=&\frac{S_{i} S_{j}}{2} u _{i}^{T} J_{i j}(- k ) u _{j}^{*}-\frac{1}{2} B ^{T} g_{i} v _{i} \delta_{i j}\\ B( k )^{i, j}=&\frac{S_{i} S_{j}}{2} u _{i}^{T} J_{i j}(- k ) u _{j} \\ C( k )^{i, j}=&\delta_{i j} \sum_{l} S_{l} v _{i}^{T} J_{i l}(0) v _{l} \end{align} \]
变分蒙特卡洛
利用试探波函数 \(\left|\psi_{\alpha}\right\rangle\) 求解基态能 \[ E_{\alpha}=\frac{\left\langle\psi_{\alpha}|H| \psi_{\alpha}\right\rangle}{\left\langle\psi_{\alpha} \mid \psi_{\alpha}\right\rangle} \geq E_{0} \] 插入一组完备基, 一般都是实空间的构型 \(\{x\}\), 即 \[ E_{\alpha}=\sum_{x} \frac{\left\langle\psi_{\alpha} \mid x\right\rangle\left\langle x|H| \psi_{\alpha}\right\rangle}{\left\langle\psi_{\alpha} \mid \psi_{\alpha}\right\rangle}=\sum_{x} p(x) E(x) \]
